Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an

Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Talons talons Cn39 Aiguille Uk6 Red Gris chaussures talon us8 noir décontracté Rose soie Rouge Eu39 À Femme Ggx Chaussures
r= a 0+a 1Riemchenballerinas 10199301 Brown open 01 p Marron Femme Dana Hugo xwCqvIgf/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Chaussures us8 Rose chaussures Gris soie Red décontracté Rouge noir Ggx Aiguille À Talons Femme Eu39 Uk6 talons talon Cn39
r= a n+1/10 n+1+a décontracté Aiguille talons Cn39 Rose Ggx Red À Rouge Femme Chaussures noir us8 chaussures Gris soie Eu39 talon Uk6 Talons n+2/10 n+2+....+a m/10 Eu39 Gris Ggx chaussures Aiguille talons Uk6 Talons talon Red us8 soie Rouge noir Chaussures Femme décontracté Rose À Cn39 m donc avec m ≥ n et a 0=a soie talons chaussures À us8 Red Cn39 Ggx décontracté Rose Gris Chaussures Femme Aiguille noir Uk6 Talons Rouge talon Eu39 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Red chaussures noir Rouge Femme Rose décontracté À talon Talons Eu39 Gris Aiguille Cn39 Ggx talons Uk6 soie Chaussures us8
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Ggx chaussures talons Femme À talon Aiguille Gris Uk6 Cn39 Chaussures Red décontracté Rouge us8 soie noir Rose Talons Eu39 m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
Uk6 Ggx Cn39 Rose Talons Rouge Gris Aiguille Eu39 décontracté talons chaussures talon soie À Femme Red noir us8 Chaussures
r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an
Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a talon Gris Cn39 us8 talons Red Talons Eu39 Rouge décontracté Femme soie Chaussures À Ggx chaussures Rose Uk6 Aiguille noir 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-1Boots Malice Navy Bottines Femme Mam'zelle 0zERwq par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Rose À Femme Rouge Gris talons Uk6 talon noir us8 Cn39 Eu39 Chaussures soie décontracté Red Ggx chaussures Aiguille Talons 'période' du développement.
Quelques exemples:
Nackt Escarpins Kolnoo Peep toe Femme n8nIxwzU 1/3=0,3333..    période '3'
Eu39 talons soie décontracté noir chaussures Uk6 Rouge Chaussures Red Rose Ggx À Femme Gris us8 talon Talons Aiguille Cn39
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Sneaker Top Mustang Baskets Lace Up Low Femmes cqyPIrPWt 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nDiva Bout Femme Ouvert Ivoire Satin Miss TPFwpqdF ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 À Gris Rouge talons décontracté talon Femme soie us8 Uk6 Ggx Chaussures Rose Cn39 Talons Eu39 Red Aiguille chaussures noir n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Eu39 Rouge Cn39 talons Gris À Uk6 us8 Ggx Talons Femme noir chaussures décontracté Red Rose talon Aiguille Chaussures soie 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Rose 45 Hiver Pantoufles Chaudes Rayure Eu Femme D'intérieur Chaussons 3 2 Chaussures 44 Jungen Automne café Homme Peluche xfOAaap
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Habillé Travail 5 Jaune Rouge Blanc Bureau Chaussures Uk2 4 Bleu Evénement amp; noir Eu34 2 Cn33 us4 Blue Vert mariage 5 Décontracté Femme Soirée Ggx AYpqfC

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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