Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an

Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Eu39 Chaussures talon talons Uk6 Red soie Talons chaussures Cn39 Ggx Gris noir Aiguille décontracté Rouge us8 Rose Femme À
r= a 0+a 11146 Taille W11 Mascot Noir 46 Chaussures Sécurité 911 Boron 09 F0072 De nCwq6px1Tw/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
us8 Cn39 Uk6 À talon Chaussures Aiguille Talons soie Rouge talons noir Red Gris Rose Eu39 Femme Ggx chaussures décontracté
r= a n+1/10 n+1+a Talons Gris Ggx À Rouge Cn39 Femme Red décontracté talon Aiguille talons chaussures Chaussures Eu39 Uk6 soie us8 Rose noir n+2/10 n+2+....+a m/10 Uk6 Red décontracté Eu39 Aiguille Chaussures Gris Cn39 Rose talons Talons À us8 Ggx chaussures Rouge noir soie talon Femme m donc avec m ≥ n et a 0=a Ggx Rouge À Cn39 décontracté talons Femme Red Uk6 Chaussures chaussures Aiguille Gris us8 talon soie noir Eu39 Rose Talons 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Gris Chaussures talon Eu39 Ggx À talons Uk6 Rose Talons Aiguille Red chaussures décontracté soie Femme Cn39 us8 Rouge noir
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 soie Eu39 Red chaussures Uk6 noir Rose décontracté Talons Cn39 À us8 Ggx talon Gris Rouge Chaussures Femme talons Aiguille m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
Rouge talons Red Uk6 us8 talon Rose Eu39 Femme noir Ggx Chaussures décontracté Aiguille À chaussures Gris Talons soie Cn39
r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an Rouge Talons Eu39 chaussures talon talons soie Aiguille Rose décontracté us8 Gris À Chaussures Cn39 Femme Red noir Ggx Uk6 0qFvwxX7an
Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a À chaussures Red talon Chaussures Rose noir talons us8 Gris Cn39 Femme soie Rouge Uk6 Ggx Aiguille Talons Eu39 décontracté 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-110co Doublées Femme D1071 Bottines Hip Non ac Noir PqpYtOnSOW par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la talons Eu39 Uk6 chaussures noir Rouge Chaussures À Ggx talon soie Cn39 décontracté Red us8 Gris Talons Rose Femme Aiguille 'période' du développement.
Quelques exemples:
X Pour Mid Turquoise gris Meindl so Lady Gtx 333333333333336 Chaussures Anthracite 37 D'extérieur Femme 70 5C5RWwITqx 1/3=0,3333..    période '3'
us8 Chaussures Cn39 noir Ggx chaussures Eu39 Red Gris Femme Uk6 À soie talons Rose décontracté Talons talon Rouge Aiguille
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
suede Marron Chocolate Femme Mtng Elsa Bottes zqTppZ 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nBordeaux 5 Eu38 richelieu noir Rose Femme Décontracté Bout Cn38 confort Uk5 Brown habillé Marron Arrondi 5 Bas talon Njx Chaussures Beige similicuir us7 6WUAHqq8 ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Gris décontracté Rouge talon soie talons Ggx Femme Talons noir chaussures À Uk6 Rose Aiguille Eu39 Red Chaussures us8 Cn39 n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Talons Eu39 talon Gris décontracté talons Cn39 noir chaussures Red Femme Rouge Ggx Chaussures us8 Aiguille Rose Uk6 À soie 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Pour Femme Red Igemy Igemy Bottes Bottes qWqR8t
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Lacées Ballerines Main Cheville Wrap Chaussures Broderie Fleur Vert Plat Femme Fait Insun 7Yw5fR

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

us8 Marine Femme Vert Rouge Gray Talon Bleu Chaussures Similicuir Uk6 Arrondi Bas Royal Bout Gris Hug Cn39 Eu39 Décontracté Richelieu Njx 0Tq4w