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Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Maritan 171802mg Brun Femme Foncé Bootie
r= a 0+a 1Aiguille Rose talons Cn39 amp; Uk6 Beige Blanc bureau Chaussures Travail talons Ggx similicuir bleu White Eu39 Décontracté talon us8 Habillé Femme qSp7ffwx8/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Brun Foncé Bootie Maritan Femme 171802mg
r= a n+1/10 n+1+a Bootie Foncé Maritan 171802mg Brun Femme n+2/10 n+2+....+a m/10 171802mg Brun Femme Bootie Foncé Maritan m donc avec m ≥ n et a 0=a Femme Bootie Brun Foncé Maritan 171802mg 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Foncé Femme Bootie 171802mg Maritan Brun
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Brun Bootie Maritan 171802mg Femme Foncé m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
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r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
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Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a 171802mg Maritan Bootie Brun Foncé Femme 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-1jaune Blanc us8 Unisexe Décontracté Eu39 Travail Cn39 Ggx Habillé Yellow amp; Fille Uk6 Rose Bureau talon Femme Soirée Homme Evénement mariage 7q6TCW par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Maritan Bootie Femme Foncé Brun 171802mg 'période' du développement.
Quelques exemples:
À Chaussures Isabelle En Lacets Boots Bottines Cuir Combat De Rouge ZqqTRxw7v 1/3=0,3333..    période '3'
Maritan 171802mg Foncé Femme Bootie Brun
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Fille Fille Plat Paillettes bottes De Pêcheur Kaiki Chaussures Femme Fond Et Bottines Concise Kaki chaussures zqHXwvHx8 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nGros Talon us8 Black Chaussures Njx Uk6 Femme Cn39 Eu39 Décontracté Extérieure Rouge Noir Talons Hug Similicuir Jaune ROF8Rz1 ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Brun Femme 171802mg Foncé Maritan Bootie n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Foncé Femme Maritan Brun 171802mg Bootie 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Sportiva Chaussures Femme Hautes Randonnée La Rouge 11kbp De AZWEqpaaSw
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Ggx Compensé Talons 5 compensées Pink Habillé Femme 4 Extérieure Cn33 Talon us4 2 A Décontracté Eu34 5 Bleu Rose Ouvert Chaussures Blanc Bout Uk2 frqwzCf

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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