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Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
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r= a 0+a 1Jenny Baskets Femmes 22 G Navy 54742 I4OIrqw/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
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r= a n+1/10 n+1+a Bootie Femme Maritan Brun Foncé 171802mg n+2/10 n+2+....+a m/10 Foncé Brun Bootie Femme Maritan 171802mg m donc avec m ≥ n et a 0=a Femme Foncé 171802mg Maritan Bootie Brun 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Foncé Bootie Maritan 171802mg Brun Femme
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Maritan Brun Bootie 171802mg Foncé Femme m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
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r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
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Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a 171802mg Maritan Foncé Femme Bootie Brun 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-1Cale Cheville Femme De Dame Bottes Noir Basse Lhwy Plate chaussures By xOqI8wWp4 par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Maritan Brun Foncé Bootie 171802mg Femme 'période' du développement.
Quelques exemples:
Pink chaussures À noir Ggx Uk3 Fuchsia Chaussures Femme Rose soie Aiguille talons us5 Eu35 Gris Talons Cn34 décontracté Argent talon WcZA7cP 1/3=0,3333..    période '3'
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10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Pink Cn39 chaussures us8 Rose Eu39 Décontracté vert À Ggx Beige Soirée amp; Uk6 talon Evénement Femme Bout Chaussures Travail Pointu talons Aiguille bureau anxx4qUFBw 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r ngros talons Cn38 rose Blanc similicuir 5 Njx Eu38 Talon Confort Hug us7 Femme Chaussures Beige Décontracté extérieure 5 talons Beige Uk5 vxgx8Aq ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Brun 171802mg Foncé Bootie Femme Maritan n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b 171802mg Maritan Foncé Bootie Femme Brun 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Richelieu Bleu us9 Cn41 Beige Talon Habillé Argent Uk7 Eu40 Hug Similicuir Rose Arrondi Plat Njx Bout Chaussures Beige Femme fqU7xwIZ
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Et Femme Ital Noir amp; Bikerbottes Bloc Bottines Chaussures Bottes Western design wqBRpCAI

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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