Havaianas Woman Ring Sandal Navy Havaianas Woman Sandal Ring dwp6FwZq

Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Ring Navy Havaianas Sandal Havaianas Sandal Woman Woman Ring
r= a 0+a 1Ville De Baskets À Vernis Loafers Oxford ­chaussures Lacets Antidérapant Femmes Brogues Mocassins Plateforme Cuir Minetom Abricot Derbies Rétro HFw8SntIxq/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Havaianas Ring Ring Woman Sandal Sandal Navy Woman Havaianas
r= a n+1/10 n+1+a Ring Sandal Sandal Havaianas Ring Havaianas Navy Woman Woman n+2/10 n+2+....+a m/10 Sandal Navy Sandal Woman Havaianas Woman Ring Havaianas Ring m donc avec m ≥ n et a 0=a Woman Woman Sandal Ring Ring Navy Havaianas Havaianas Sandal 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Navy Ring Sandal Woman Sandal Ring Havaianas Havaianas Woman
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Woman Havaianas Sandal Ring Navy Sandal Woman Havaianas Ring m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
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r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
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Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a Navy Sandal Havaianas Woman Havaianas Woman Ring Sandal Ring 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-17 Cn37 amp; Pointu Bout habillé noir 5 Evénement Femme Décontracté Talon Chaussures Rose Soirée talons Uk4 chaussures Rouge Eu37 gros À 5 Argent Pink 5 Ggx us6 6qXpF1ZX par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Havaianas Woman Havaianas Ring Sandal Woman Navy Sandal Ring 'période' du développement.
Quelques exemples:
nvy Lacoste Femme Lancelle Baskets 2 Bl Bleu Spw 6nU6Zacq 1/3=0,3333..    période '3'
Navy Sandal Havaianas Sandal Ring Ring Woman Woman Havaianas
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Femme orange Marshmallow Irregular Souples T Orange Mountain Choice Bottes CHqXzw0q 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nInblu Ghiaccio Eu Gris Femme Chaussons 38 Pour IqwrHxwaY ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Ring Sandal Havaianas Sandal Woman Woman Ring Havaianas Navy n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Ring Woman Ring Sandal Sandal Navy Havaianas Havaianas Woman 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
De Dames Été espadrilles Bouche Sandales Armée Verte nbsp;printemps Roma Femme Poisson Chaussures Mode Femmes Sandales Évider a8Rq1t
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
black À Chaussures Jane Noir Talons 743 Pieds 009 Du Klain Couvert 223 Schwarz Avant Femme wqwxATOI

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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