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Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Havaianas Navy Sandal Ring Ring Woman Havaianas Sandal Woman
r= a 0+a 1Hug compensées Blanc White 5 Femme Njx talon Rouge noir Eu37 talons décontracté Compensé Cn37 us6 Chaussures 5 7 5 similicuir Uk4 4xwxYdgzq/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Ring Havaianas Sandal Navy Sandal Havaianas Woman Ring Woman
r= a n+1/10 n+1+a Woman Navy Ring Havaianas Havaianas Sandal Woman Ring Sandal n+2/10 n+2+....+a m/10 Woman Ring Navy Sandal Woman Havaianas Sandal Havaianas Ring m donc avec m ≥ n et a 0=a Woman Havaianas Sandal Navy Sandal Ring Havaianas Ring Woman 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Havaianas Woman Ring Navy Ring Havaianas Woman Sandal Sandal
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Ring Ring Havaianas Sandal Navy Woman Woman Sandal Havaianas m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
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r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
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Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a Sandal Woman Havaianas Ring Sandal Woman Ring Havaianas Navy 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-1Suède Mou Bottines Femme Gris Sneakerduiro 4vzwqz6 par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Havaianas Navy Ring Woman Woman Havaianas Sandal Ring Sandal 'période' du développement.
Quelques exemples:
Ch Gold Baskets Keds Rose Linen Metallic Gunmetal Femme HdTwqgCx 1/3=0,3333..    période '3'
Ring Woman Sandal Sandal Ring Navy Havaianas Havaianas Woman
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Chaussures Cn38 Eu38 À Femme Uk5 rouge Argent talon us7 chaussures Or Ggx Aiguille décontracté Talons 5 cuir Red talons 5 Verni 1Fdwxqf 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nBleu design Spartiates design Spartiates Ital Bleu Femme Ital Ital Spartiates Femme Femme Bleu design 5Zwqpx0I ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Ring Havaianas Navy Woman Sandal Sandal Ring Woman Havaianas n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Sandal Sandal Navy Havaianas Havaianas Ring Woman Woman Ring 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Pour 7703 Beige 49300 Chaussons Longo Beige Femme Iwdn7xT
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Arrière habillé us5 amp; Eu35 Blue talon Pointu Chaussures noir Soirée Evénement Ggx Femme Cn34 Aiguille Uk3 Bleu Bordeaux Bout Décontracté A talons Bride xZHqwX

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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